2017熊本大学・医 数学【2】

2017熊本大学・医 数学【2】

数学Ⅲの範囲のリハビリシリーズです。

解くか解かないかは(問2)の数式の意味が理解できるかどうか、が第一。
第二は、図示しながらの題意の把握が苦手な人はいい練習になるよ~ってことが判断のカギです。

意外と計算はめんどくさいので・・・・略解だけで。詳しい解答のリクエストは、コメント欄からどうぞ! ←こう書くことで、ブログを盛り上げたい、という意図があることは内緒だ。

[voice icon=”http://llcmarronier.com/wp-content/uploads/oshou.png” name=”ケンシ” type=”r”]

\(s>0,\,t>0\) とする。複素数平面上の\(\alpha=-i\) \(,\,\beta=2-2\,i\) \(,\,\gamma=s+t\,i \)を表す点をそれぞれ\({\rm A,\,B,\,C}\)とする。さらに,点\({\rm D}\)を直線\({\rm AC}\)に関して点\({\rm B}\)と反対側にとり,\(\triangle {\rm ACD}\)が正三角形になるようにする。点\({\rm D}\)を表す複素数を\(z\)とするとき,以下の問いに答えよ。\)\(

(問1) \(z\)を\(s,\,t\)を用いて表せ。

(問2) \(\alpha,\,\beta,\,\gamma \)が等式\(4(\beta-\alpha)^2\) \(+(\gamma -\alpha )^2\) \(-2(\beta-\alpha)(\gamma -\alpha)\) \(=0\)を満たすとき,\(\gamma\)と\(z\) をそれぞれ求めよ。

(問3) (問2)で求めた\(\gamma\)と\(z\)に対して,直線\({\rm AC}\)と直線\({\rm BD}\)の交点を\({\rm F}\)とし,\(\angle{\rm DFC}=\theta\)とする。このとき,\(\cos \theta \)の値を求めよ。[/voice]

【解答】

(問1)\(z=\frac{s-\sqrt{3}t-\sqrt{3}}{2}\) \(+\frac{\sqrt{3}s+t-1}{2}\,i\)

(問2)\(\gamma =(2+\sqrt{3})+(-2+2\sqrt{3})\,i\) \(,\quad z=(-2+\sqrt{3})+2\sqrt{3}\,i\)

(問3)\(\cos \theta=\frac{\sqrt{7}}{14}\)

 

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