2017熊本大学・医 数学【3】

2017熊本大学・医 数学【3】

数学Ⅲの範囲のリハビリシリーズです。

(1)だけでも解いて、安心してください。

詳しい答えが必要な方はコメント欄から~。

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\(f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{x^2}\quad (x>0)\)とする。座標平面上の曲線\(y=f(x)\)を\(C\)とし,点\({\rm}(t,\,f(t))\quad (t>0)\)における曲線\(C\)の接線を\(l\)とする。以下の問いに答えよ。

(問1) 接線\(l\)と曲線\(C\)が点\({\rm P}\)以外に共有点をもたないような\(t\)の最大値を求めよ。

(問2) (問1)で求めた\(t\)の値を\(a\)とする。実数\(k\)に対し,直線\(l_k : y=k(x-a)+f(a)\)と曲線\(C\)の共有点の個数を求めよ。

(問3) (問2)の直線\(l_k\)と曲線\(C\)の共有点が2個のとき,それら共有点の\(x\)座標のうち小さい方の値が\(\frac{1}{2}\)となるような\(k\)を求め,そのときの曲線\(C\)と直線\(l_k\)で囲まれた部分の面積を求めよ。

[/voice]

(1)は変曲点における接線を与える\(t\)が答えですね。
あとは計算♪

【参考図】クリックで拡大

【解答】

(問1)\(t=2\)

(問2)\(k\leq 0 \)のとき2個、\(0<k<\frac14\)のとき3個、\(k\geq \frac14\)のとき1個

(問3)\(\frac53+3\log 6\)

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