2017鹿児島大学・医 数学【5】

2017鹿児島大学・医 数学【5】

数学Ⅲの範囲のリハビリシリーズです。

[voice icon=”http://llcmarronier.com/wp-content/uploads/oshou.png” name=”ケンシ” type=”r”]
\(\rm{O}\)を原点とする複素数平面において,4点\(\rm{O,\,A,\,B,\,C}\)が,時計の針の回転と逆の向きに正方形をなすとする。複素数\(z,\,w\)を表す点\(\rm{P}({\it z}),\,\rm{Q}({\it w})\)が,点\(\rm{A,\,B,\,C}\)のいずれかに一致しているとき,次の各問いに答えよ。

(1) \(z,\,w\)が条件を満たすとする。このとき,点\(\rm{P,\,Q}\)は点\(\rm{A,\,B,\,C}\)のいずれに一致しうるか,条件を満たす\(\rm{P,\,Q}\)の組をすべて求めよ。

(2) \(z,\,w\)が(1)の条件に加え,さらに\(w=z^2\)を満たすとする。このとき,(1)で求めた\(\rm{P,\,Q}\)のそれぞれの組に対して,複素数\(z\)の値を求め,対応する正方形\(\rm{OABC}\)を複素数平面上に図示せよ。

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【解答】

(1)\({\rm(P,\,Q)=(A,\,B),\,(A,\,C),(B,\,C)}\)

(2)\({\rm(P,\,Q)=(A,\,B)}\)のとき,\(z=1+i\)
\({\rm(P,\,Q)=(A,\,C)}\)のとき,\(z=i\)
\({\rm(P,\,Q)=(B,\,C)}\)のとき,\(z=\frac{1+i}{2}\)

正方形OABCの図示は略

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