2017大分大学・医 数学【3】

2017大分大学・医 数学【3】

数学Ⅲの範囲のリハビリシリーズです。

[voice icon=”http://llcmarronier.com/wp-content/uploads/oshou.png” name=”ケンシ” type=”r”]

放物線\(y=-x^2\)と\(y=x^2-2x\)のそれぞれの上を動く点を\(P\)と\(Q\)とする。現在時刻\(t=0\)で\(P=(0,\,0)\),\(Q=(1,\,-1)\)にあり,それぞれの放物線上を速さ1で\(P\)は\(x\)座標が増加する方向に,\(Q\)は\(x\)座標が減少する方向に動く。以下の問いに答えなさい。

(1) 点\(P=(x,\,-x^2)\)とするとき,\(Q\)の座標を求めなさい。

(2) 動点\(P\)と\(Q\)の距離の2乗の最小値とそのときの\(P\)の座標を求めなさい。

(3) 関数\(g(x)=\frac12 \log (x+\sqrt{x^2+1})+\frac12 x\sqrt{x^2+1}\)を\(x\)で微分しなさい。

(4) 動点\(P\)と\(Q\)の距離の2乗が最小となる時刻\(t\)を求めなさい。ただし,(2)の\(P\)の\(x\)座標を\(a\)として,求める時刻を表現してもよい。
[/voice]

(3)の微分だけでもやっとけば?? という感じの問題です。

【解答】

(1)\(Q(-x+1,\,x^2+1)\)
(2)\(P(\frac{1}{\sqrt[3]{4}},\,-\frac{1}{2\sqrt[3]{2}})\)のとき,\(2-\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}\)
(3)\(g'(x)=\sqrt{x^2+1}\)
(4)\(t=\frac{1}{4}\{\log (2a+\sqrt{4a^2+1})+2a\sqrt{4a^2+1}\}\)

 

 

コメント