評価あれこれ(問題集)その3・・・倉庫

そろそろ,評価も終わりにしたいのですが,
今後のために,問題をストックしておきますね。

[voice icon=”http://llcmarronier.com/wp-content/uploads/oshou.png” name=”ケンシ” type=”r”]2009 東京大学 前期|理系

(1) 実数\(x\)が,\(-1<x<1,\quad x\neq 0\)をみたすとき,次の不等式を示せ。
\( \quad (1-x)^{1-\frac{1}{x}} < (1+x)^{\frac{1}{x}} \)

(2) 次の不等式を示せ。
\(\quad 0.9999^{101}<0.99<0.9999^{100}\)

[/voice]

[voice icon=”http://llcmarronier.com/wp-content/uploads/oshou.png” name=”ケンシ” type=”r”] 2003 東京大学 前期|理系

円周率が3.05より大きいことを証明せよ。

[/voice]

[voice icon=”http://llcmarronier.com/wp-content/uploads/oshou.png” name=”ケンシ” type=”r”]2015一橋大学 前期

\(n\)を2以上の整数とする。\(n\)以下の正の整数のうち,\(n\)との最大公約数が1となるものの個数を\(E(n)\)で表す。たとえば
\(E(2)=1,\,E(3)=2,\,E(4)=2,\,\cdots,\,E(10)=4,\,\cdots\)
である。
(1) \(E(1024)\)を求めよ。
(2) \(E(2015)\)を求めよ。
(3) \(m\)を正の整数とし,\(p\)と\(q\)を異なる素数とする。\(n=p^mq^n\)のとき\(\frac{E(n)}{n}\geq \frac13\)が成り立つことを示せ。

[/voice]

[voice icon=”http://llcmarronier.com/wp-content/uploads/oshou.png” name=”ケンシ” type=”r”]2007 東京大学 理系・前期数学【6】
以下の問いに答えよ。
(1) \(0<x<a\)をみたす実数\(x,\,a\)に対し,次を示せ。
\(\frac{2x}{a}<\int_{a-x}^{a+x}\frac{1}{t}dt<x(\frac{1}{a+x}+\frac{1}{a-x})\)
(2) (1)を利用して,次を示せ。
\(0.68<\log 2<0.71\)
ただし,\(\log 2\)は2の自然対数を表す。
[/voice]

[voice icon=”http://llcmarronier.com/wp-content/uploads/oshou.png” name=”ケンシ” type=”r”]2005 東京医科歯科大学 医学部
次の条件(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)を満たす関数\(f(x) (x>0)\)を考える。
(ⅰ) \(f(1)=0\)
(ⅱ) 導関数\(f'(x)\)が存在し,\(f'(x)>0 \) \((x>0)\)。
(ⅲ) 第2次導関数\(f”(x)\)が存在し,\(f”(x)<0\) \((x>0)\)。
このとき以下の各問いに答えよ。

(1) \(a\geq \frac32 \)のとき次の3数の大小を比較せよ。
\(\quad f(a)\) \(,\,\frac12 \{f(a-\frac12)+f(a+\frac12)\}\) \(,\,\int_{a-\frac12}^{a+\frac12}f(x)dx\)
(2) 整数\(n \,(n\geq 2)\)に対して次の不等式が成立することを示せ。
\(\quad \int_{\frac32}^n f(x)dx\) \(\,< \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} f(k) +\frac12 f(n)\) \(\,< \int _1^{n} f(x)dx\)
(3) 次の極限値を求めよ。ただし\(\log \)は自然対数を表す。
\(\quad \displaystyle\lim _{n\to \infty} \frac{n+\log n! -\log n^n}{\log n}\)

[/voice]

[voice icon=”http://llcmarronier.com/wp-content/uploads/oshou.png” name=”ケンシ” type=”r”]
随時追加していきます!

[/voice]

コメント