第一余弦定理 ついでに正弦定理と

\(a^2=b^2+c^2-2bc \cos A\) は,「第二余弦定理」と呼ばれます。
第一余弦定理って知ってますか??

「第二余弦定理」の証明は,「第一余弦定理」で証明されます。
自分の記憶では,昔(80年代)の教科書はそうだったはず・・・と思って見てみたら,
残念ながら記憶違いでした。「二点間距離公式」で,ポン!!

余弦定理 第一余弦定理による証明

上の図で,\(a=c\cos B+b\cos C\) ←ということは一般の三角形で成り立つということね。
同様に,\(b=a\cos C+c\cos A\)
また,\(c=b\cos A+a \cos B\)

ここから,\(\cos B,\,\cos C\)を機械的に消去すると,

\(a^2=b^2+c^2-2bc \cos A\)が得られるわけですね。

・・・若干味気ないですね。でも,第一余弦定理は直感的に明らかで,あとは一次の連立なので,安心感(?)はあります。

余弦定理 二点間距離公式による証明

二点間距離公式・・・ということは,実質上「三平方の定理」による証明ですね。

次の図を見ているだけで,わかりますね?

 

気を付けるポイントは点Cの座標の表現方法ですが,数学Ⅱまでやっていると「円のパラメータ表示」だなぁ・・・となりますね?

証明を一応記すと,

\(a^2=\mbox{BC}^2\)
\(=(b\cos A-c)^2+(b\sin A)^2\)
\(=b^2(\cos^2A+\sin^2A)+c^2-2bc\cos A\)
\(=b^2+c^2-2bc\cos A\)

です。

この証明方法のメリットは,三平方が「直角三角形限定の定理」なのに対し,余弦定理が「一般の三角形に対して成り立つ定理」であることが,実感としてわかる(ですよね?)ことだと思います。実際,∠Aが直角の場合,\(\cos A=0\)なので\(a^2=b^2+c^2\)となり,まさに三平方の定理になるわけです。

ついでに正弦定理は,

正弦定理 円周角の定理から明らか!?

眺めるだけで証明終わり! いいですね~♪

三角形の面積公式\(S=\frac{1}{2}bc\sin A\)は明らか! と自信をもって言えなければなりません。

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