相加相乗

相加相乗・・・「相加平均と相乗平均の関係の不等式」などというと長いので,日常的には「相加相乗」などと略して呼ばれることの多い不等式についての話。

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\(a,\,b>0\)とするとき,次の不等式を証明せよ。また,等号が成立するのはどのようなときか。
\(\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{a\times b}\)
[/voice]

これは基本。\((a+b)\geq 2\sqrt{ab}\)を示すことにして・・・

【解法1】二乗してルートをなくしてから考える
\((a+b)^2-(2\sqrt{ab})^2\) \(=a^2-2ab+b^2\) \(=(a-b)^2 \geq 0\)として導く方法もありますね。ただし,両辺正だから二乗しても情報が減らない,ってことを一言添える必要があるでしょう。少なくとも,ちゃんと「両辺正」を意識する必要はありますね。

【解法2】ルートをカタマリとして考える
\(a+b-2\sqrt{ab}\) \(=(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}\) \(=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \geq 0\)として導く方法の方が,一言添えなくてもよい分,なんかカッコいい?

[voice icon=”http://llcmarronier.com/wp-content/uploads/oshou.png” name=”ケンシ” type=”r”]
\(a,\,b,\,c>0\)とするとき,次の不等式を証明せよ。また,等号が成立するのはどのようなときか。
(1) \(\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{a\times b}\)
(2) \(\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{a\times b\times c}\)
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という形で聞かれたときは,(2)の証明は単独で考える流れでしょうか。

ただし【解法1×】三乗して三乗根をなくして考える,というのはダメで,

【解法2】三乗根をカタマリで考える,・・・(文字の置き換えをした方が「書くのが楽」)

\(x=\sqrt[3]{a},\,y=\sqrt[3]{b},\,z=\sqrt[3]{c}\)などとおくと,
\(a+b+c-3\sqrt[3]{abc}=x^3+y^3+z^3-3xyz\)となり,アレが使えますね? まずは,自分で確かめてみて,分からなければコメントください~。

でも,次のように聞かれたらちょっと立ち止まりますね?

[voice icon=”http://llcmarronier.com/wp-content/uploads/oshou.png” name=”ケンシ” type=”r”]
\(a,\,b,\,c,\,d>0\)とするとき,次の不等式を証明せよ。また,等号が成立するのはどのようなときか。
(1) \(\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{a\times b}\)
(1) \(\frac{a+b+c+d}{4}\geq \sqrt[4]{a\times b\times c \times d}\)
(2) \(\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{a\times b\times c}\)
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なぜ,2文字→4文字→3文字の順番なんだろう・・・と。

種明かしのまえに・・・

ヒントは,2文字→4文字(からの3文字)→8文字(からの7文字,6文字,5文字)→16文字(からの15文字,14文字,……9文字),

と一般化できるよ! ってことです。

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