破産の確率~2018|順天堂大学|医学部|数学2

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破産の確率。やはり出た!

[voice icon=”http://llcmarronier.com/wp-content/uploads/oshou.png” name=”ケンシ” type=”r”]A,Bの2チームに持ち点が与えられ,ゲームを行う。勝ったチームが持ち点1を得て負けたチームが持ち点1を失うものとする。ゲームを繰り返して一方のチームの持ち点が0になったときに終了し,もう一方のチームの優勝とする。ただし,各ゲームで引き分けはないものとする。
(1)各ゲームでAが勝つ勝率を\(\frac{1}{3}\)とし,はじめの持ち点をA,Bともに2とすると,2ゲーム終了時にAが優勝する確率は\(\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}\),4ゲーム終了時にAが優勝する確率は\(\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エオ}}\)である。また,Aが優勝する確率は\(\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}\)である。
(2)各ゲームでAが勝つ確率を\(\frac{1}{3}\)とし,はじめの持ち点をAが3,Bが1とするとAが優勝する確率は\(\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケコ}}\),はじめの持ち点をAが1,Bが3とするとAが優勝する確率は\(\frac{\fbox{サ}}{\fbox{シス}}\)である。
(3)各ゲームでAが勝つ勝率を\(\frac{1}{3}\)とし,はじめの持ち点をA,Bともに3とすると,3ゲーム終了時にAの持ち点が4になる確率は\(\frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}}\),3ゲーム終了時にAの持ち点が2になる確率は\(\frac{\fbox{タ}}{\fbox{チ}}\)である。また,Aが優勝する確率は\(\frac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}}\)である。
(4)各ゲームでAが勝つ確率を\(\frac{1}{2}\)とし,はじめの持ち点をAが3,Bが2とする。このときにAが優勝する確率\(p\)を求めたい。1ゲーム目にAが勝ち,かつAが優勝する確率を\(p\)を用いて表わすと\(\frac{\fbox{ト}}{\fbox{ナ}}p\) \(+\frac{\fbox{ニ}}{\fbox{ヌ}}\)となる。この確率と1ゲーム目にBが勝ち,かつAが優勝する確率とを合わせて\(p=\frac{\fbox{ネ}}{\fbox{ノ}}\)を得る。
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