1999|京都大学|数学

1999|京都大学|数学

図形的考察と計算のバランスが絶妙・・・ということなのかな?

いい練習になると思いますので,複素平面の分野を一通り学び終わった後にでも,ぜひ解いてみてほしいと思います。ただし,実力者には物足りないかもしれません。そんな人には追加問題をあげるから,コメントしてね!

[voice icon=”http://llcmarronier.com/wp-content/uploads/oshou.png” name=”ケンシ” type=”r”]
複素数平面上で,三角形 ABC の頂点を表す複素数を\(\alpha,\,\beta,\,\gamma\)とする。\(\alpha,\,\beta,\,\gamma\)が次の3 条件を満たすとする.
 (ⅰ) 三角形ABC の辺の長さが\(\sqrt{3}\)の正三角形である。
 (ⅱ) \(\alpha+ \beta +\gamma=3\)
 (ⅲ) \(\alpha \beta \gamma\)は絶対値が1 で,虚数部分は正
(1) \(z=\alpha -1\)とおいて,\(\beta\)と\(\gamma\)を\(z\)を用いて表せ。
(2) \(\alpha \beta \gamma\)の偏角を求めよ.ただし,\(0\leq \arg \alpha \) \(\leq \arg \beta\) \( \leq \arg \gamma \) \(< 2\pi \)とする。
[/voice]

まずはヒント(考えてから見よ!)

落書き的ですんません! 正三角形だから,内心,外心,垂心,重心が全部一致します! ということね。

そして【解答】

(1) \(\beta=z\omega +1\),\(\gamma=z\omega ^2+1\) または,\(\beta=z\omega ^2 +1\),\(\gamma=z\omega +1\)
(2) 順に\(\frac{\pi}{9}\),\(\frac{4\pi}{9}\),\(\frac{16 \pi}{9}\)

解説がいるなら,コメント欄から!

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