数学ガイダンス|道具箱

道具箱の整理と,それを用いた試行錯誤

2019年度に向けた春期講習が始まっています。過去動画の再アップをしておきます。

大きな目標としては

(1)まずは道具に頼って数学をいじくってみる。

(2)そのうち素手で数学に立ち向かってみる。

ということです。

さて,数学でいう「道具に頼る」っていうのはどういうことなんでしょうか? お楽しみください~。

教材はこちら|道具箱【ガイダンス用】

動画はこちら

フーリエ級数のおもちゃ【短い動画あり】

ふつうの計算問題に見えるかもしれませんが,背景がありまして・・・・。

[voice icon=”http://llcmarronier.com/wp-content/uploads/oshou.png” name=”ケンシ” type=”r”]
定積分\(\displaystyle\int_0^\pi (a\sin x+b\sin 2x-x)^2dx\)を最小にする定数\(a,\,b\)の値を求めよ。
[/voice]

答\(a=2,\,b=-1\)

一般化すると,・・・

[voice icon=”http://llcmarronier.com/wp-content/uploads/oshou.png” name=”ケンシ” type=”r”]定積分\(\displaystyle\int_0^\pi (\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k \sin kx -x)^2dx\)を最小にする定数\( a_1,\,a_2,\,\cdots\)の値を求めよ。[/voice]となりまして・・・\(n\)の値をデカくしていくと・・・・という動画がコチラ!!

答えは,\(a_k=(-1)^{k+1}/k \) これをグレープスというソフトに入力すると・・・。

 

候補を絞ってグラフで整理

最大最小のテクニックを・・・。

変数・定数の理解ができているかどうかの試金石にもなりますし,実際の入試問題を解くときの強力な武器にもなります。

まずは,昔つくった解説動画をどうぞ

最大最小=候補を絞ってグラフで整理【動画7分30秒ぐらい】

そのあとに,実際の問題で使えるかどうか,試してみましょう~♪

問題1

2次関数\(f(x)=x^2-2ax+2a+3\)の\(0\leq x\leq 4\)における最大値を\(M(a)\),最小値を\(m(a)\)とする。次の値を求めよ。
(1) \(M(a)\)
(2) \(m(a)\)
(3) \(M(a)-m(a)\)の最小値

問題2

2次関数\(f(x)=x^2-2x+3\)の\(t\leq x\leq t+1\)における最大値を\(M(t)\),最小値を\(m(t)\)とするとき,\(M(t)\)の最小値と\(m(t)\)の最小値を求めよ。

問題3

\(0\leq x\leq 2\)における関数\(f(x)=-x^2+4|x-a|+1\)の最小値を\(g(a)\)とする。
(1) \(g(a)\)を求めよ。
(2) \(g(a)\)の最小値を求めよ。

解答1

(1) \(\begin{array}{c||c|c|c}
a & \cdots & 2& \cdots \\
\hline
M(a) & -6a+19 & 7& 2a+3
\end{array}\)

(2) \(\begin{array}{c||c|c|c|c|c}
a & \cdots & 0 & \cdots & 4 & \cdots  \\
\hline
m(a) & 2a+3 & 3 & -a^2+2a+3 & 5 & -6a+19 \\
\end{array}\)

(3) \(a=2\)のとき 4

解答2

(1) \(M(t)\)の最小値は\(\frac94 \)(\(t=\frac12\)のとき)
(2) \(m(t)\)の最小値は2 (\(0\leq t\leq 1\)のとき)

解答3

(1) \(\begin{array}{c||c|c|c|c|c}
a & \cdots & 0 & \cdots & 2 & \cdots  \\
\hline
g(a) & -4a+1 & 1 & -a^2+1 & -3 & 4a-11 \\
\end{array}\)
(2) \(-3\)

数学道具箱・鳩の巣の原理【改訂】

今日は,「鳩の巣の原理」を授業で扱います。「一回聞いただけではわかりにくい話シリーズ」の第二弾となります。第一弾は,「正四面体の基本情報」でした。そもそも一度分かってしまえば,もう改めて聞きたくない話かもしれませんよね~

ということで,昨年度の秋ごろの授業から・・・・。
みんな,初めて「鳩の巣の原理」の話を聞くわけではない・・・という。
しかしながら,リクエストがあり,説明させてもらいました。

~~~~~~

教室のみんなと一緒に考えてみよう。

初めて経験する人にはツラいかも。
教室にいる人は春に一度,鳩の巣の原理を経験済みです。

[voice icon=”http://llcmarronier.com/wp-content/uploads/oshou.png” name=”ケンシ” type=”r”]
鳩の巣の原理  \(m\)羽の鳩と,\(n\)個の巣箱があり ,すべての鳩がいずれかの巣箱に入るとする。\(m>n\)のとき,少なくとも1つの箱には2羽以上の鳩が入っている。

【例題48】次のことを証明せよ。
(1) 一辺の長さが2の正三角形の内部に任意に5点とったとき,そのうちの2点で距離が1より小さいものが少なくとも1組存在する。
(2) 座標平面に5個の格子点が与えられたとき,そのうちの2点を結ぶ線分で中点がまた格子点となるものが少なくとも1つ存在する。 [/voice]

↓  では

↓  動画をご覧ください!

正四面体の基本情報と,2009年昭和


正四面体の基本情報と,2009年|昭和大学|医学部|数学【3】

問題に挑む前に,正四面体の基本情報を確認しておきましょう!

解説動画(正四面体の基本情報について)

ホワイトボード右端が切れとる!! 見えにくくてすみません!

[voice icon=”http://llcmarronier.com/wp-content/uploads/oshou.png” name=”ケンシ” type=”r”]
(3) 半径\(r\)の4個の小球が互に外接している。次の各問に答えよ。
(3-1) 各小球の中心を4つの頂点とする正三角錐の体積を求めよ。
(3-2) 4個の小球が内接する球の半径を求めよ。
[/voice]

答え

(3-1) \(\frac{2\sqrt{2}}{3}r^3\),

(3-2) \((\frac{\sqrt{6}}{2}+1)r\)

解説動画(2009昭和大学|医学部|3の解説です)

ホワイトボード右端が切れとる!! 見えにくくてすみません!

三つ子素数・この話には続きがあります

教室のみんなと一緒に考えてみよう。

自治医科大学の入試問題で,解答だけは出したことがあります。
さて,記述式になったらどのように表現すればよいでしょうか?

[voice icon=”http://llcmarronier.com/wp-content/uploads/oshou.png” name=”ケンシ” type=”r”]
三つ子素数  
\(n\)を自然数とする。\(n,\,n+2,\,n+4\)がすべて素数となるときの\(n\)を全て求めよ。(記述式) [/voice]

今週末に,この話の続きの話をUPしますね。
お楽しみに♪♪

↓  では

↓  動画をご覧ください!

数学道具箱・鳩の巣の原理

教室のみんなと一緒に考えてみよう。

初めて経験する人にはツラいかも。
教室にいる人は春に一度,鳩の巣の原理を経験済みです。

[voice icon=”http://llcmarronier.com/wp-content/uploads/oshou.png” name=”ケンシ” type=”r”]
鳩の巣の原理  \(m\)羽の鳩と,\(n\)個の巣箱があり ,すべての鳩がいずれかの巣箱に入るとする。このとき,少なくとも1つの箱には2羽以上の鳩が入っている。

【例題48】次のことを証明せよ。
(1) 一辺の長さが2の正三角形の内部に任意に5点とったとき,そのうちの2点で距離が1より小さいものが少なくとも1組存在する。
(2) 座標平面に5個の格子点が与えられたとき,そのうちの2点を結ぶ線分で中点がまた格子点となるものが少なくとも1つ存在する。 [/voice]

↓  では

↓  動画をご覧ください!