1999|京都大学|数学

1999|京都大学|数学

図形的考察と計算のバランスが絶妙・・・ということなのかな?

いい練習になると思いますので,複素平面の分野を一通り学び終わった後にでも,ぜひ解いてみてほしいと思います。ただし,実力者には物足りないかもしれません。そんな人には追加問題をあげるから,コメントしてね!

[voice icon=”http://llcmarronier.com/wp-content/uploads/oshou.png” name=”ケンシ” type=”r”]
複素数平面上で,三角形 ABC の頂点を表す複素数を\(\alpha,\,\beta,\,\gamma\)とする。\(\alpha,\,\beta,\,\gamma\)が次の3 条件を満たすとする.
 (ⅰ) 三角形ABC の辺の長さが\(\sqrt{3}\)の正三角形である。
 (ⅱ) \(\alpha+ \beta +\gamma=3\)
 (ⅲ) \(\alpha \beta \gamma\)は絶対値が1 で,虚数部分は正
(1) \(z=\alpha -1\)とおいて,\(\beta\)と\(\gamma\)を\(z\)を用いて表せ。
(2) \(\alpha \beta \gamma\)の偏角を求めよ.ただし,\(0\leq \arg \alpha \) \(\leq \arg \beta\) \( \leq \arg \gamma \) \(< 2\pi \)とする。
[/voice]

まずはヒント(考えてから見よ!)

落書き的ですんません! 正三角形だから,内心,外心,垂心,重心が全部一致します! ということね。

そして【解答】

(1) \(\beta=z\omega +1\),\(\gamma=z\omega ^2+1\) または,\(\beta=z\omega ^2 +1\),\(\gamma=z\omega +1\)
(2) 順に\(\frac{\pi}{9}\),\(\frac{4\pi}{9}\),\(\frac{16 \pi}{9}\)

解説がいるなら,コメント欄から!

道具箱p30 正多面体

先日行われた,「医学部模試」の解説授業の中でも話題に上った「正多面体」・・・過去の記事を再UPしたいと思います。ではどうぞ~。

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正多面体について,最低限学習しておきましょう。
折りたたもうとすると,どうしても種類が限られてしまうことから,
何となく5種類しかなさそうですよね?
証明も決して難しくありませんので挑戦するのもいいかも。

着眼点は,一つの頂点に何個の正多角形が集まるか,です。

正20面体になると,結構作図が大変ですよね??
オイラーの多面体定理というのがあって,・・・
これがあれば,例えば辺の数が分からなくても残りの2つから求められます。

双対性については,適当にググって図を見ておいてくださいね。

http://ds.cc.yamaguchi-u.ac.jp/~math/toybox/polyhedron_soral/explanation/037_4.html


比較的図が見やすいのがこれでした。クリックすると動きます。

美しい,Youtube動画は↓

2002|名古屋大学|文・経済|数学【解答】

偏見なしに,とりあえず解いてもらいたい「雑問」です。

談話室マロニエ・メンバーは苦戦しているようなので,しびれを切らして解答UP!

2002|名古屋大学|数学

[voice icon=”http://llcmarronier.com/wp-content/uploads/oshou.png” name=”ケンシ” type=”r”]
\(n\)を自然数とするとき,3つの数\(a=\sqrt[5]{1+\frac{1}{n}}-1\),\(b=1-\sqrt[5]{1-\frac{1}{n}}\),\(c=\frac{1}{5n}\) の大小を比較せよ。
[/voice]

何となく5乗根を消そうとして,何とか同型・・・(X+1)^5など・・・に持ち込む解答。

【解法1】ボードの順番が左右逆です。

五乗根っつったら,相加相乗5文字じゃね? という解答。

クラスのK君の解答です。カッコいい!?

【解法2】

さて,これはカッコいいんですが,入試本番で使うとちゃんと点数はもらえるのでしょうか? これは結構デリケートな問題なので,今後の更新をお待ちください。ご意見あれば,コメント欄へ!

そして,まだまだあります。

【解法3】Coming soon!!!

 

はみケズ論法(3)同位角型はキケン!

そしてもう一問。

[voice icon=”http://llcmarronier.com/wp-content/uploads/oshou.png” name=”ケンシ” type=”r”]
関数\(f(t)=\int _0^3 |x^2-tx|dx\)の最小値と,最小値を与える\(t\)の値を求めよ。

\(t\)の値だけなら・・・・[/voice]

 

はみケズ論法(2)錯角型

はみケズ論法(2)普通に解けばいいんですが,「はみケズ」で検算できるということ。

まぁ,色々話題があるっちゃある。全部言うとキリが無い。そして,全部言ったところで別にそんなことわかっとるわ! と言われそう。また,あんまり役に立たないかもしれん。

そんな問題。

[voice icon=”http://llcmarronier.com/wp-content/uploads/oshou.png” name=”ケンシ” type=”r”]
点\((1,\,2)\)を通る直線と曲線\(y=x^2\)で囲まれた図形の面積の最小値を求めよ。
[/voice]

このタイプの「はみケズ論法」を「錯角型」と呼んでいます(たぶん,オレだけ)。論証に使う三角形が「錯角利用」により「合同」であることが(一瞬で)わかる・・・というぐらいの命名理由。気持ちは分かってもらえます?

はみケズ論法(1)

穴埋め問題。答えだけで良いなら??

[voice icon=”http://llcmarronier.com/wp-content/uploads/oshou.png” name=”ケンシ” type=”r”]
\(f(t)=\int _0^1 |x^2-t|dx\)は,\(t=\fbox{?}\)のとき最小となる。[/voice]

いわゆる「はみケズ論法」による。

記述式問題では用いてはダメ。理由の一つは「極小値」に過ぎないから。

他にも理由があると思いますが,「出題意図を汲み取れ!」的なものもあるかもしれん。

20°ファミリー あと,3倍角公式

20°,40°,(60°を飛ばして)80°は,計算問題によく出てきますね?

例えば,

[voice icon=”http://llcmarronier.com/wp-content/uploads/oshou.png” name=”ケンシ” type=”r”]
\(\sin \frac{\pi}{9}\times \sin \frac{2\pi}{9}\times \sin \frac{4\pi}{9}\)を簡単にせよ。
[/voice]

【解法1】当然,積和変換ね。ただし,順番には注意。

【解法2】三次方程式の解と係数の関係を用いる,っていう解法。

さすがにコレは,誘導されたらできる・・・ぐらいになってれば大丈夫!

ここでは,「有名角と準有名角」の全体像の地図と,【解法2】をご紹介

ボードに出てくる,「池袋,60,乙女ロード,BL,腐女子」なる単語は,

サインの3倍角公式のおぼえかた・・・

サンシャイン,引いて夜風が身に染みる(詠み人知らず)

\(\sin 3\theta =3\sin \theta -4\sin^3 \theta \)

の説明。池袋のサンシャインビルの近くにあるらしい「乙女ロード」なる道。昼夜,「腐女子」と呼ばれる方々が「BL(詳細不明)関連本」を求めて集う。その姿を見て,周りの人が「引いて」しまう。う~ん,夜風も染みるなぁ~。という意味。

これは,割と古くから知られている3倍角の公式の覚え方なんじゃないですかね?

ちなみに,コサインだと,\(\cos 3\theta =4\cos^3\theta -3\cos \theta \)

ヨウコさん~,さぁ○○しましょう~。
3歳はダメ,4歳は見事!

などが有名か!?

2018|慶應大学|医学部|数学

2018|慶應大学|医学部|数学

さすが慶應! という感じ。一度は考えようとして考えるのがめんどくさくなる感じの問題。

[voice icon=”http://llcmarronier.com/wp-content/uploads/oshou.png” name=”ケンシ” type=”r”]
\(k\)を自然数とする。赤い玉と白い玉がそれぞれ\(2k\)個ずつある。これらをすべて円周上に等間隔に並べる並べ方の総数を\(N_k\)とおくと,
\(N_1=\fbox{?}\),\(N_2=\fbox{?}\),\(N_3=\fbox{?}\)である。ただし,回転して並びが同じになるものは同じ並べ方と考える。
[/voice]

円順列で,固定するものが見当たらない! どうしよう!? 地道にやるしかない!

でも,地道にって言われてもねぇ・・・

答えはこの下にあります(解説はまだない)

【答】2,10,80

破産の確率~2018|順天堂大学|医学部|数学2

2018|順天堂大学|医学部|数学2

破産の確率。やはり出た!

[voice icon=”http://llcmarronier.com/wp-content/uploads/oshou.png” name=”ケンシ” type=”r”]A,Bの2チームに持ち点が与えられ,ゲームを行う。勝ったチームが持ち点1を得て負けたチームが持ち点1を失うものとする。ゲームを繰り返して一方のチームの持ち点が0になったときに終了し,もう一方のチームの優勝とする。ただし,各ゲームで引き分けはないものとする。
(1)各ゲームでAが勝つ勝率を\(\frac{1}{3}\)とし,はじめの持ち点をA,Bともに2とすると,2ゲーム終了時にAが優勝する確率は\(\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}\),4ゲーム終了時にAが優勝する確率は\(\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エオ}}\)である。また,Aが優勝する確率は\(\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}\)である。
(2)各ゲームでAが勝つ確率を\(\frac{1}{3}\)とし,はじめの持ち点をAが3,Bが1とするとAが優勝する確率は\(\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケコ}}\),はじめの持ち点をAが1,Bが3とするとAが優勝する確率は\(\frac{\fbox{サ}}{\fbox{シス}}\)である。
(3)各ゲームでAが勝つ勝率を\(\frac{1}{3}\)とし,はじめの持ち点をA,Bともに3とすると,3ゲーム終了時にAの持ち点が4になる確率は\(\frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}}\),3ゲーム終了時にAの持ち点が2になる確率は\(\frac{\fbox{タ}}{\fbox{チ}}\)である。また,Aが優勝する確率は\(\frac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}}\)である。
(4)各ゲームでAが勝つ確率を\(\frac{1}{2}\)とし,はじめの持ち点をAが3,Bが2とする。このときにAが優勝する確率\(p\)を求めたい。1ゲーム目にAが勝ち,かつAが優勝する確率を\(p\)を用いて表わすと\(\frac{\fbox{ト}}{\fbox{ナ}}p\) \(+\frac{\fbox{ニ}}{\fbox{ヌ}}\)となる。この確率と1ゲーム目にBが勝ち,かつAが優勝する確率とを合わせて\(p=\frac{\fbox{ネ}}{\fbox{ノ}}\)を得る。
[/voice]

解答は,コメントの反応があり次第♪